إرشادات مقترحات البحث معلومات خط الزمن الفهارس الخرائط الصور الوثائق الأقسام

مقاتل من الصحراء
Home Page / الأقســام / موضوعات علمية / الأرقام





لوحة الأعداد
وثيقة اكتشفت في العراق
أقدم الأرقام العربية
الرسوم المختلفة للصفر
الزوايا في الأرقام العربية
العصا الإنجليزية
استخدام الأصابع في العدّ
عد النقود




الفصل الأول

رابعاً: استخدام نظام الأعداد

    لنفترض أنه طُلب منا حل مسألة الجمع: 4+ 4 + 4 + 4= ؟. لو استخدمنا النظام ذا الأساس 10، لكان الجواب 16، كما يتضح من المجموعات التالية من النقاط.

      +     +     +        =          

  4  +  4  +  4  +  4   =    16

آحاد  آحاد   آحاد   آحاد    مجموعة واحدة من 10 زائد 6 آحاد

وبالمقابل فإن استخدام الأساس 16 يعطي 4 + 4 + 4 + 4 =(10)16

 +      +      +          =          

4      4     4      4        (10) 16

آحاد     آحاد    آحاد   آحاد     مجموعة واحدة من 16

    تختلف الأعداد في كل من الإجابتين، ولكن عدد النقاط لا يتغير. وتتكون الأعداد طبقاً لمبدئي التجميع وقيم الخانات، وكذلك الحال مع الطرح والضرب والقسمة، والتي يمكن دراستها عن طريق حل مسائل باستخدام أنظمة أعداد متعددة للترقيم، وبالتالي اكتساب فهم أعمق لاستخدامات الأعداد في الحساب.

1. الحساب العشري: يطلق مسمى الحقائق الحسابية على جمل مثل 4 + 5 =  9 ، 9 - 4 = 5، 9×5 = 45، 45÷9 = 5. وتستخدم كثير من هذه الحقائق في الجمع والطرح والضرب والقسمة.

2. الجمع العشري: هو طريقة لضم مجموعتين أو أكثر من مجموعة واحدة فقط. ونستخدم مبدأ قيمة الخانة لجمع الآحاد مع الآحاد، والعشرات، وهكذا، كما يتضح من المثال التالي:

4 آحاد + 2 عشرات

2 آحاد + 1 عشرات

6 آحاد + 3 عشرات

      24

+ 12

 36  

في هذا المثال استخدمنا حقيقة الجمع 4+2= 6 وحقيقة 2+1= 3 (يعني 2 من العشرات + 1عشرة = 3عشرات أو 30)؛ إذاً فالمجموع هو 3 عشرات زائداً 6 آحاد يعني 36. وفي بعض المسائل، يكون المجموع في خانة أو أكثر مساوياً لعشرة أو أكثر، وعندئذ يجب إعادة توزيع المجموعة، فلا نضع في حاصل الجمع، في خانة الآحاد، إلا ما يقل عن العشرة، ونأخذ الزائد كل عشرة بواحد، يضاف إلى خانة العشرات. وهذا ما يسمى في الجمع بعملية الحمل.

وتبين المسألة التالية كيفية إعداد التجميع في الجمع العشري.

 

8 آحاد + 4 عشرات

5 آحاد + 2 عشرات

13 آحاد + 6 عشرات

أو بعد إعادة التجميع

3 آحاد + 7 عشرات

   1

48

 + 25

   73

في هذه المسألة تجمع الآحاد إلى 13، ونستخلص منها عشرة واحدة زائد 3 آحاد. ومن ثم نكتب 3 في خانة الآحاد و 1 ذا حجم صغير في خانة العشرات فوق ال4، ثم نجمع العشرات: 1+4+2= 7عشرات أو 70. ويكون المجموع هو 70+3 أو 73.

3. الطرح العشري: هو طريقة معاكسة للجمع، وتتبع مبادئ الجمع العشري نفسها.

5 آحاد + 6 عشرات
3 آحاد + 2 عشرات
2 آحاد + 4 عشرات

 65
_ 23
  42

في هذا المثال استخدمنا الحقيقة 5-3= 2، والحقيقة 6-2= 4 (تعني 6 عشرات - 2عشرات= 4 عشرات). ولطرح عدد كبير من عدد أصغر في أية خانة، يجب أن نعيد التجميع ويطلق أحياناً على إعادة التجميع في الطرح مسمى الاستلاف. بمعنى أن نأخذ واحد من خانة العشرات، ونضيفه بقيمة عشرة إلى العدد في خانة الآحاد. ويوضح المثال التالي كيفية إعادة التجميع في الطرح العشري.

13 آحاد + 6 عشرات
5   آحاد + 2 عشرات
8   آحاد + 4 عشرات

 13 67
-  25
48

في خانة الآحاد يجب طرح 5 من 3، وهو الأصغر، لذا نأخذ واحداً من الـ 7، وقيمته عشرة، فيكون العدد كأنه 6عشرات زائداً 13 من الآحاد ونوضح ذلك بكتابة 1 ذي حجم صغير مقابل الـ 3. وشطب الـ 7 وكتابة 6 ذات حجم صغير أعلاها. استخدم  الطرح 13 - 5= 8 لتطرح الآحاد، و 6 - 2= 4 لطرح العشرات.

4. الضرب العشري: هو طريقة لضم المجموعات المتساوية إلى بعضها البعض. وتعني حقيقة الضرب 4 × 6= 24 أن 4 مجموعات ذات ستة أشياء تضم ما مجموعه 24 شيئاً. وإليك طريقة استخدام قيمة الخانة لضرب 23 في 3:

3 آحاد + 2عشرات
3 آحاد
9 آحاد + 6عشرات

   23
× 3
   69

ابتداءً احسب: 3 × 3 آحاد = 9 آحاد،

و 3 × 2 عشرات = 6 عشرات، أو 60

ثم اجمع 60 + 9= 69.

في الضرب نعيد التجميع عندما يكون حاصل الضرب في أية خانة مساوياً 10 أو أكثر.

9  آحاد + 4عشرات
2  آحاد
18 آحاد + 8عشرات
أو بعد إعادة التجميع
8 آحاد + 9عشرات

49
×  2
98

في هذه المسألة، حاصل ضرب 2×9 هو 18، والذي يمكن إعادة تجميعه إلى 1عشرة واحدة زائداً 8 آحاد، ولذا نكتب 8 في خانة الآحاد ونكتب 1 ذا حجم صغير في خانة العشرات فوق الـ 4، ثم نضرب 2×4= 8 في خانة العشرات ثم نضيف الـ 1 لنحصل على 9.

وعندما يكون للمضروب فيه أكثر من رقم واحد، نكرر العملية لكل رقم ثم نضيف حاصل الضرب:

4 آحاد + 2عشرات

2 آحاد + 1عشرات

8 آحاد + 4عشرات

4 عشرات + 2مئات

8 آحاد + 8عشرات + 2مئات

   24

× 12

   48

+  24

   288

اضرب أولاً 24 في 2 تكون 8 في خانة الآحاد، 4 في خانة العشرات، ثم اضرب 24 في 1 عشرة واكتب 4 في خانة العشرات، 2 في خانة المئات. ثم أضف النواتج لتحصل على 288.

5. القسمة العشرية: هي طريقة معاكسة للضرب. وتعمل على تجزئة مجموعة واحدة إلى عدة مجموعات من الحجم نفسه. وفيما يلي طريقة قسمة 69 على 3:

23                                3آحاد + 2عشرات

69/3                           9 آحاد + 6عشرات/ 3آحاد

6                                6عشرات

09                               9 آحاد

9                                 9 آحاد

احسب أولاً: "6عشرات ÷ 3= 2عشرات". اكتب في خانة العشرات فوق الـ 6. ثم احسب: 9آحاد ÷ 3= 3آحاد. اكتب 3 في خانة الآحاد فوق الـ 9. إذا 69 ÷ 3= 2عشرات + 3آحاد أو 23.

وكذلك يجعل مبدأ قيمة الخانة من قسمة الأعداد الكبيرة أمراً سهلاً.

82

164/ 2

16

004

4

احسب أولاً: "16عشرة ÷ 2= 8 عشرات". اكتب 8 في خانة العشرات فوق الـ 6. ثم احسب 4آحاد ÷ 2= 2آحاد. اكتب في خانة الآحاد فوق الـ 4. إذا 164 ÷ 2= 8عشرات + 2آحاد أو 82.

6. الحساب الثنائي: له عدد محدود من الحقائق لأنه يستخدم رقمين فقط هما 0 و1.

أ. الجمع الثنائي: يعتمد على الحقائق التالية فقط

0+0= 0، 0+1= 1، 1+0= 1، 1+1= 10

وفيما يلي طريقة استخدام هذه الحقائق لجمع 11+11:

الجمع العشري

المعنى

الجمع الثنائي

  3  

+ 3

  6  

 

1 آحاد + 1 اثنين

1 آحاد + 1 اثنين

10آحاد + 10اثنين

أو بعد إعادة التجميع

0آحاد +1اثنين + 1أربعات    

   11

+ 11

 110

 

أولاً: نستخدم الجمع 1+1= 10 (يعني 1 اثنين) لجميع الآحاد. أعد تجميع 10 اثنين إلى 1 اثنين. اكتب. في خانة الآحاد 1 ذا حجم صغير فوق عمود الاثنينات: ثم اجمع الاثنينات: 1+1= 10؛ 10+1= 11. اكتب 1في خانة الاثنينات، 1 في خانة الأربعات. وبالتالي: 11 اثنين + 11 اثنين = 110 اثنين.

ب. الطرح الثنائي. وأساسه أربع حقائق.

0-0= 0، 1-0= 1، 1-1= 0، 10-1= 1

وباستخدام هذه الحقائق اطرح 11 من 110

الطرح العشري

المعنى

الطرح الثنائي

  3  

+ 3

  6  

10آحاد + 10اثنينات + 0أربعات

1آحاد + 1 اثنين 

1آحاد + 1اثنين  

   110

- 11

 110

في خانة الآحاد علينا طرح 1 من 0 لذا نعيد تجميع 1 أربعة زائد 10أحاد، ثم نستخدم  10-1=1 لطرح الآحاد. ولطرح الاثنينات، علينا مرة أخرى طرح 1 من 0 لأن إعادة التجميع السابق ترك في خانة الاثنينات. أعد تجميع 1أربعة زائد 10 اثنينات واستخدم  10-1= 1.

ج. الضرب الثنائي: يستخدم الحقائق التالية

0×0= 0، 0×1= 0، 1×0= 0، 1×1= 1

حاصل ضرب أي رقمين يساوي دائماً 0 أو 1، لكن علينا إعادة التجميع عندما نضيف نتائج الضرب لإكمال أي مسألة ضرب. وكمثال إليك طريقة ضرب 11×11:

الضرب العشري

المعنى

الضرب الثنائي

  3

× 3

  9

1 آحاد + 1 اثنين

1 آحاد + 1 اثنين

1 آحاد + 1 اثنين

1 اثنين + ا أربعات

1 آحاد + ا اثنيات + 1 أربعة

أو بعد اعادة التجميع

1 آحاد + 0 اثنينات + 0 أربعات + 1 ثمانية

   11

× 11

  11

11

1001

اضرب واكتب حاصل الضرب كما تفعل في النظام العشري، مستخدماً حقائق الضرب الثنائي عند إضافة نتائج الضرب الجزئية. لنزل ال 1 في خانة الآحاد. أضف الاثنينات: 1+1= 10. أعد تجميع 10اثنينات إلى 1أربعة. اكتب في خانة الاثنينات وأضف 1 إلى 1 في خانة الأربعات: 1+1= 10. اكتب في خانة الأربعات و1 في خانة الثمانينات لتحصل على 1001.

د. القسمة الثنائية معاكسة للضرب الثنائي: يوضح المثال التالي القسمة على عدد ثنائي ذي رقمين

11  

1001/ 11

11

11

11

لقسمة 11 إلى 1001 احسب "11 أكبر من 10 لكل أصغر من 100 لذا يجب أن تمتد إلى 100 مرة واحدة". اكتب 1 فوق الصفر الثاني، ثم اكمل الحل بالضرب ثم الطرح كما في مسائل الأعداد العشرية، لكن تذكر استخدام حقائق الطرح الثنائي.

7. الحساب الستة عشري: له من الحقائق أكثر مما للحساب العشري لأنه أكثر أرقاماً (0 إلى 9 زائداً أ إلى و).

أ. الجمع الستة عشري (أُنظر جدول الحقائق الأساسية عن الجمع الستة عشري).

فمثلاً لإيجاد مجموع 6+ أ، أوجد أولاً الصف الذي يبدأ بـ 6، ثم حرك أصبعك باتجاه اليسار مروراً بهذا الصف حتى تصل إلى العمود الذي يبدأ في أعلاه بـ أ. سيكون إصبعك على ال 10 (تعني 1 ستة عشر) وهو مجموع 6 زائداً أ.

استخدم الجدول لحل المسألة التالية:

الجمع العشري

المعنى

الجمع الستة عشري

  44
+ 129
173

ج آحاد + 2 ستة عشر
1   آحاد + 8 ستة عشر
د    آحاد + أ ستة عشر

 ج 2
+ 81
 د أ

استخدام أولاً الحقيقة ج + 1= د لجمع الآحاد، ثم استخدم الحقيقة 2 + 8= أ (2ستة عشر + 8 ستة عشر= أ ستة عشر).

وعندما يكون المجموع في أية خانة أكبر من و، أعد التجميع بدلالة الأساس 16 كما هو مبين في المثال التالي.

الجمع العشري

المعنى

 الجمع الستة عشري

110
+ 52
162

هـ آحاد + 6 ستة عشر
4 آحاد + 3 ستة عشر
12 آحاد + 9 ستة عشر
أو بعد إعادة التجميع
2 آحاد + أ ستة عشر

هـ 6
+ 34
2 أ

وكما يتضح من المثال، فإن هـ+4= 12 في خانة الآحاد. وبإعادة تجميع 12 آحاد إلى 1 ستة عشر زائد 2 آحاد. اكتب 2 في خانة الآحاد و1 ذا حجم صغير في خانة الستة عشر فوق ال 6، ثم أضف الستة عشر: 6+3= 9 ستة عشري، 9 ستة عشر زائد ال 1 ستة عشري التي حصلنا عليها عن طريق إعادة التجميع يساوي أ ستة عشري.

ب. الطرح الستة عشري: بإمكاننا استخدام جدول حقائق الجمع الستة عشري لنوجد أيضاً حقائق الطرح الستة عشري. فمثلاً لطرح د من 12 ، أوجد أولاً العمود الذي يبدأ بـ د، ثم أنزل بأصبعك على طول هذا العمود حتى تصل إلى 12، ثم حرك إصبعك يساراً على طول هذا الصف حتى تصل إلى أول رقم لتجد الجواب 5.

الطرح العشري

المعنى

الطرح الستة عشري

 232
- 128
 50

8 آحاد + هـ ستة عشر
6 آحاد + ب ستة عشر
2 آحاد + 3 ستة عشر

8 هـ
- 6 ب
32

لقد طرحنا الآحاد باستخدام الحقيقة 8 - 6 = 2  بينما في خانة الستة  عشر استخدمنـا هـ - ب = 3.

إذا كان الرقم المطروح أكبر من الرقم الذي يعلوه، فنحتاج إلى إعادة التجميع كما يتبين من المثال التالي:

الطرح العشري

المعنى

الطرح الستة عشري

 52
- 28
 24

14 آحاد + 2 ستة عشر
ج آحاد + 1 ستة عشر
8 آحاد + 1 ستة عشر

 34
- ج 1
 18

بما أن ج أكبر من 4 في خانة الآحاد، يتوجب علينا إعادة تجميع 3 ستة عشر زائد 4 آحاد إلى 2 ستة عشر زائد 14 آحاد. اشطب ال 3، واكتب 2 ذات حجم صغير أعلاها، واكتب 1 ذا حجم صغير بجوار ال 4، ثم استخدم حقيقة الطرح 14-ج= 8 لطرح الآحاد. وللطرح في خانة الستة عشر استخدم الحقيقة 2-1=1.

ج. الضرب الستة العشري يستخدم أيضاً حقائق أكثر من الضرب العشري. (أُنظر جدول الحقائق الأساسية عن الضرب الستة عشري).

فمثلاً لإيجاد حاصل الضرب 5×9، أوجد أولاً الصف الذي يبدأ بـ 5، ثم حرك إصبعك يميناً، توقف عند العمود الذي يبدأ في أعلاه بـ 9. سيتوقف أصبعك عند د 2 (2ستة عشر زائد د آحاد).

استخدم الجدول لحل المسألة التالية في الضرب الستة عشري، وتذكر إعادة التجميع إذا كان الناتج في أية خانة أكبر من و.

الضرب العشري

المعنى

الضرب الستة عشري

86
×8
688

6 آحاد + 5 ستة عشر
8 آحاد + 5 ستة عشر
30 آحاد + 28 ستة عشر
أو بعد إعادة التجميع
0آحاد + ب 2ستة عشر

56 3
×8
0 ب 2

في خانة الآحاد استخدمنا الحقيقة 6×8= 30، وأعدنا تجميع ال 30 آحاد إلى ستة عشر و 0 آحاد.

اكتب  في خانة الآحاد 3 ذات حجم صغير في خانة الستة عشر فوق ال 5. ثم اضرب 5×8 لتحصل على 28 وأضف ال 3 لتحصل على ب 2 وحيث إن 5 كانت في خانة الستة عشر، فإن النتيجة النهائية تتكون من ب في خانة الستة عشر، و 2 في خانة الستة عشر مضروبة في الستة عشر.

وعندما يتكون المضروب فيه أكثر من رقم، كرر العملية لكل رقم وأضف النواتج، كما هو موضح في المثال التالي:

الضرب العشري

الضرب الستة عشري

43
×82
86
344
3526

ب2 1 3
×52
56
7 د
6 ج د

اضرب أولاً ب 2 في 2 حيث ب×2= 16 آحاد.

اكتب 6 في خانة الآحاد وأعد التجميع بإضافة 1 ذي حجم صغير في خانة الستة عشر، ثم اضرب 2 ستة عشر × 2 لتحصل على 4 ستة عشر وأضف ال 1 للستة عشر التي أعيد تجميعها. اكتب 5 في خانة الستة عشر، ثم اضرب ب 2 في 5 (ستة عشر). ب×5= 37 من جدول الضرب الأساسي. اكتب 7 في خانة الستة عشر وأعد تجميع ال 3 بكتابة 3 ذات حجم صغير فوق ال 1 الذي حصلنا عليه من إعادة التجميع في الخطوة الأولى استخدم الحقيقة الأساسية 2×5= أ، ثم أ+3= د واكتب د في خانة الستة عشر تربيع. وبجمع الآحاد ومجموعة الستة عشر، ومجموعة الستة عشر مضروبة في مجموع الستة عشر نحصل على 6 ج د.

د. القسمة الستة عشرية: يمكن أيضاً استخدام جدول الضرب الستة عشري لإيجاد حقائق القسمة. فمثلاً لقسمة ب على 58 أوجد العمود الذي يبدأ بـ ب. انزل إصبعك على طول العمود حتى تصل إلى 58. وفي أقصى اليسار من هذا الصف ستجد الإجابة وهي 8.

استخدم الجدول لحل المسألة التالية:

القسمة العشرية

المعنى

القسمة الستة عشرية

27  
216/8
16
56
56

ب آحاد + 1 ستة عشرات
8 آحاد + د ستة عشر/8آحاد
8 ستة عشر     
8 آحاد + 5 ستة عشر
8 آحاد + 5 ستة عشر

ب 1
8 د/8
 8
58
58

احسب "د ستة عشر مقسومة على 8 تساوي 1 ستة عشر". اكتب 1 فوق الـ د. اضرب 1×8 واكتب الناتج 8 تحت د. اطرح 8 من د باستخدام جدول الضرب الستة عشري. أكمل الحل كما لو كنت في القسمة العشرية، لكن باستخدام حقائق الحساب الستة عشري.

بالإضافة إلى ذلك هناك النظام الستيني للأعداد وسوف يتعرض له البحث، فيما بعد.


 



[1] ويمثل هذا النظام الأعداد من خلال مجموعات يتكون كل منها من عشرة. ولنفترض أنك تود إحصاء الهللات أو القروش التي جمعتها. فبدلاً من عدها واحدة واحدة، يمكن عدها باستخدام مجموعات من 10، أي تضعها في ربط من 10، ومن ثم يكون ترتيب الربط في مجموعات بحيث توضع 10 منها في كل مجموعة كما هو موضح في الرسم. كم هللة لدينا؟ يمكن أن نجيب على النحو التالي: لدينا مجموعتان في كل واحدة منها 10 ربط، وفي كل ربطة 10 هللات = 2 (10 10) = 200، و 4 ربط في كل منها 10=4   10=40، إضافة إلى هللات منفردة. أي لدينا ما مجموعه 200+ 40+ 80 = 248 هللة.

[2] ذكر أن تشارلز ديكنز يصف استخدام تلك العصى، متهكماً: `منذ زمن بعيد، عمدت الحكومة إلى استخدام طريقة بدائية في إجراء الحسابات، وإمساك الدفاتر، هي طريقة عصا العد، فكأنها رجعت إلى عهد روبنسن كروزو، حين كان يسجل أعداد الأيام، على أرض جزيرة نائية. وهكذا، رغم وجود أعداد هائلة من المحاسبين، وخبراء المراجعة، ظل الروتين الرسمي يميل إلى استخدام العصى القديمة، كما لو كانت شيئاً مقدساً لا يجوز الاستغناء عنه. وفي عهد جورج الثالث، أظهر كثير من المثقفين سخطهم من هذا الأمر، قائلين إنه طالما لدينا الأوراق والأقلام، فمن المكابرة الاستمرار في التمسك بتقاليد بالية.

[3] الخط الديموطيقي: هو صورة متطورة من الكتابة الهيروغليفية في مصر القديمة، وهو صورة أبسط وأسرع في الكتابة.

[4] العدد النسبي: هو العدد الذي يمكن التعبير عنه على شكل أ/ب حيث أ، ب عددان صحيحان، ب لا يساوي صفر، وحاصل القسمة عدد صحيح أو كسر عشري متناه. والأرقام التي لا يمكن التعبير عنها على هيئة كسر تسمى أعداد لانسبية، فمثلاً يمكن كتابة ط (باي) على شكل كسر عشري بقيمة تقريبية  3.14159 غير أن الكسر يستمر بصورة غير محددة، وكذلك الجذر التربيعي للعد 2.

[5] يكاد ينعقد الإجماع على أن أرشميدس هو أعظم علماء العصور القديمة. وهو صاحب قاعدة الأجسام المغمورة في السوائل المشهورة والتي يقال إنه اكتشفها وهو يستحم فخرج عارياً وهو يصيح: وجدتها وجدتها! كما ينسب إليه اختراع جهاز المرايا الذي أحرق به الأسطول الروماني وهو يحاصر ميناء سرقطة. وقتله جندي روماني عقب اقتحام المدينة.